Как вычислить площадь треугольника

Треугольник — плоская геометрическая фигура, ограниченная тремя отрезками попарно пересекающихся прямых. Точки пересечения называются вершинами треуголиника и обычно обозначаются заглавными латинскими буквами: A, B, C. Величины углов при вершинах, по которыми пересекаются прямые принято обозначать соответствующими греческими буквами: α, β, γ. Противолежащие углам отрезки прямых, ограничивающие треугольник, называются ребрами (сторонами) треугольника и обозначаются соответственно a, b, c.

Ниже приведены формулы по которым можно найти площадь S треугольника с вершинами A, B, C, величинами соотвествующих углов α, β, γ и противолежащими им сторонами a, b, c:

S = a·b·sin(γ)/2 = a·c·sin(β)/2 = b·c·sin(α)/2,

S = a2·sin(β)·sin(γ)/(2·sin(β + γ),

S = √(p·(p – a)·(p – b)·(p – c)) (формула Герона),
где √(...) — обозначение квадратного корня, p = (a + b + c)/2 — полупериметр треугольника.

S = a·ha/2 = b·hb/2 = c·hc/2,
где ha — высота, опущенная из вершины A на сторону a, hb — из вершины B на сторону b, hc — из вершины C на сторону c.

S = r·p,
где r — радиус вписанной в треугольник окружности, p = (a + b + c)/2 — полупериметр треугольника.

S = a·b·c/4R,
где R — радиус окружности описанной вокруг треугольника.

Если заданы декартовы координаты точек на плоскости A(x1, y1), B(x2, y2) и C(x3, y3), то площадь S можно найти по следующей формуле (через определитель второго порядка для матрицы разниц координат):

S = |(x1 – x3)·(y2 – y3) – (x2 – x3)·(y1 – y3)|/2,
где |...| — обозначение модуля. Эта формула получена из выражения для векторного произведения двух векторов на плоскости, которое по абсолютной величине равно значению определителя, составленного из их координат.

Для прямоугольного треугольника существуют дополнительные, в том числе более простые формулы для вычисления площади:

Прямоугольным называется треугольник, один из углов которого составляет 90° (является прямым). Поскольку сумма углов треугольника равна 180°, прямой угол в треугольнике может быть только один.

Ниже приводятся формулы формулы вычисления площади S, специфическикие для прямоугольных треугольников. Обозначения: с — длина гипотенузы (стороны, противолежащей прямому углу), a, b — длины катетов (сторон, прилежащих к прямому углу), α, β — величины противолежащих этим катетам углов (α + β = 90°).

По двум катетам:
S = a·b/2

По катету и противолежащему углу:
S = a2/2tg(α) = b2/2tg(β)

По катету и прилежащему углу:
S = a2·tg(β)/2 = b2·tg(α)/2

По гипотенузе и углу:
S = c2·sin(α)·cos(α)/2 = c2·sin(β)·cos(β)/2 = c2·sin(α)·sin(β)/2

По гипотенузе и катету:
S = a·sqrt(c2 – a2)/2 = b·sqrt(c2 – b2)/2,
где sqrt(...) — обозначение квадратного корня.